Geometria Analitica: LA LINEA RECTA

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS, INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS Nº 71

BACHILLERATO: Ciencias económico – administrativas

ESPECIALIDAD: Contabilidad

MATERIA: Geometría Analítica

TEMA: La Linea Recta

NOMBRE DE LA ALUMNA: Silvia Guadalupe Ramos Silvestre

NOMBRE DE LA PROFESORA: Martha Reyna Martinez

SEMESTRE: 3 GRUPO: K

NUMERO DE LISTA: 36
FECHA: 12 de octubre del 2012

Temas de investigación. Segundo periodo parcial.

1.-Pendiente y ángulo de inclinación

*Ángulo de inclinación

Sea 1 una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo θ < 80° que se obtiene al girar la semirrecta AX en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta 1. Por lo tanto, este ángulo (θ) se denomina inclinación de la recta 1.

*La pendiente de una recta

La pendiente de una recta no vertical es un numero que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde esta inclinada. La recta de la figura por cada 3 unidades que avanza hacia la derecha, sube 4 unidades,

decimos que la pendiente de la recta es 4/3.
Usualmente se denota con la letra m a la pendiente. Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, tomamos dos puntos P(x1, y1) y Q(x2 ,y2) de la recta y calculamos el cociente:

m = y2-y1/
x2-x1

Si tomamos otro par de puntos P' y Q' en la misma recta, como se muestra en la figura, se obtienen dos triángulos rectángulos semejantes, y por lo tanto, la razón de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta puede determinarse usando dos puntos cualesquiera.

Si la recta es vertical, todos los puntos de la recta tienen la misma primera coordenada, entonces el denominador de la expresión anterior vale cero y por lo tanto, no puede evaluarse m, así que las rectas verticales no tienen pendiente.

observaciones:

o La pendiente es positiva cuando la recta esta inclinada hacia la derecha.

o La pendiente es cero cuando la recta es horizontal.

o La pendiente es negativa cuando la recta esta inclinada hacia la izquierda.

o Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta esta mas inclinada.

o Una recta vertical no tiene pendiente.

2.-Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

1.- "Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales." Dos rectas
l1 y l2 son paralelas solo si sus inclinaciones son idénticas si las pendientes de las rectas son m1 y m2, la condición de paralelismo establece que m1 = m2.

"Como l1 y l2 son paralelas, sus inclinaciones θ1 y θ2 son iguales, es decir, θ1=θ2 y en consecuencia tg θ1= tg θ2, por lo tanto. m1 =m2".

2.- " Dos rectas son perpendiculares entre si, si la pendiente de una de las rectas es reciproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta."

Sean l1 y l2 dos rectas perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90°, es decir, en cualquiera de los casos θ1 = θ2 + 90° o θ2 = θ1 + 90°; por lo tanto:

tg θ1 = - ctg θ2

tg θ1 = - 1/

tg θ2 y como

tg θ1 = m1 y tg θ2 = m2, tenemos que m1= -1/m2

o también "Dos rectas son perpendiculares entre si, cuando el producto de sus pendientes es igual (-1)" m1 m2 = -1

3.- "Toda recta perpendicular el eje ''x'' no tiene pendiente, es decir, la pendiente de una recta paralela al eje ''y'' no existe."

Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes ''x'' y ''y'', que son, por supuesto, perpendiculares, se hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje''x'' es cero, puesto que tg 0° = tg 180° = 0; en tanto que la pendiente de la otra recta paralela al eje ''y'' es indefinida, puesto que tg 90° = ºº

3.-Determinación de la ecuación de la recta

Ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto de ella.

Como ya hemos visto antes las ecuaciones en dos variables representan lugares geométricos en el plano. Empezaremos nuestro estudio de lugares geométricos con las rectas, que son los más sencillos. Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto P(x1, y1) y tiene pendiente m. Si Q(x, y) es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer

m = y2-y1/

x2 -x1

puesto que Q ≠ P y la recta no es vertical, 1 x ≠ x , multiplicando por 1 x − x ,obtenemos: Ecuación 1: 1 1 y − y = m(x − x )

Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y recíprocamente si vemos una ecuación de este tipo, podemos saber por que punto pasa la recta y que pendiente tiene.

PUNTO - PENDIENTE

PUNTO - PUNTO

DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE UNA RECTA y - y1 = m( x - x1)

ECUACIÓN PENDIENTE-ORDENADA DE UNA RECTA y= mx + b

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS

y - y1 = (y1 - y2)/

(x1 - x2) (x - x1)

ECUACIÓN SIMÉTRICA O CANÓNICA DE LA RECTA m = - b/a

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA GENERAL Ax + By + C = 0

4.-Ecuación de la recta en la forma normal

La recta L queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen y el ángulo positivo W que la perpendicular forma con el eje de las x. La perpendicular OA a la recta L, representada por P, se considera siempre positiva por ser una distancia. EI ángulo W engendrado por OA varía de 0°≤ W < 360°.

Si damos valores a p y W, la recta L trazada por A(x1 , y,) queda determinada por la ecuación de la recta en su forma normal que se obtiene en la forma siguiente:

cos w = x1/p
sen w = y1/p

Despejamos:
x1 = p cos w y1 = p sen w

Sustituimos los dos valores anteriores en A = (x1 , y1), con lo cual obtenemos las coordenadas del punto A, que son:

A = (p cos W, p sen w)

Par su parte, la pendiente m de OA es:

m =tan w

Como la recta L es perpendicular a la recta GA, sus pendientes están relacionadas con;

m= 1/
m2

es decir, la recíproca con signo cambiado. Como ya sabemos que la pendiente de OA es tan w, la inversa de esta función con signo cambiado de la recta L perpendicular a GA es:

-cot w

de donde,

m =-cot w = cosw/
sin w

Sustituyendo en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente los valores de x1 , y1 y de m, queda:

y − y1 = m(x − x1)

y -p sin w = cos w/( x-p cos w)
sin w .

Quitamos el denominador sen w y desarrollamos:

y sen w -p sen2 w = -cos w(x -p cos w}
= -x cos w + p cos2 w

Agrupando:
x cos w + y sen w = p sen2 w + p cos2 w

Factorizamos el segundo miembro:
x cos w + y sen w = p (sen2 w + cos2 w)

Aplicamos la identidad pitagórica:
sen2 w + cos2 w = 1

sustituimos:
x cos w + y sen w = p

De donde
x cos w + y sen w- p = 0
Forma normal de la ecuación de la recta.

Relación en la que w y p son las constantes arbitrarias o parámetros, y el valor de sen w y cos w puede ser positivo o negativo, de acuerdo con el cuadrante en que este el lado terminal del ángulo w.

Recordando el círculo geométrico, tenemos:

5.-Forma polar de la ecuación de la recta

Ángulo de intersección entre dos rectas

Si la recta L1, con ecuación y = mIx + b1, se interseca con la recta L2, con ecuación y = m2x + b2, se forman dos ángulos, el ángulo θ y su suplementario 180°- θ.
Para obtener el valor del ángulo θ procedemos en la forma siguiente:
Como "en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el":

α + β =α
Despejando:
2 1 β =α −α
Como β =θ par ser opuestas por el
vértice queda,
2 1 θ =α −α

el problema lo resolveremos usando la función tangente; en consecuencia, podemos indicar que;

tanθ = tan(α2 −α1)

En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de dos ángulos es;

tan(a2 - a1) = tan a2 tan a1/
1+(tan a1)(tan a2)

como tan α2 = m2 ,

tan α1 = m1

Sustituyendo queda:

tan(θ) = m2 - m1
1 (m1)(m2)

Para aplicar esta relación se debe tener sumo cuidado al determinar cual es la pendiente m1 y cual m2. Para
ello se deben seguir las indicaciones siguientes:

A. Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor.

B. Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva.

C. Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto.

CONCLUSIÓN:

1. Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma común.

2. Trazamos las gráficas.

3. Determinamos cual es m1 y cual m2. Sustituimos en la fórmula.

4. Obtenemos el valor del ángulo de la función tangente en las tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas.

6.- Ángulo de intersección entre dos rectas.

Si la recta L1, con ecuación y = mIx + b1, se interseca con la recta L2, con ecuación y = m2x + b2, se forman dos ángulos, el ángulo θ y su suplementario 180°- θ.
Para obtener el valor del ángulo θ procedemos en la forma siguiente:
Como "en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el":

α + β =α
Despejando:
2 1 β =α −α
Como β =θ par ser opuestas por el
vértice queda,
2 1 θ =α −α

el problema lo resolveremos usando la función tangente; en consecuencia, podemos indicar que;

tanθ = tan(α2 −α1) .

En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de dos ángulos es;

tan(a2 - a1) = tan a2 - tan a1/
1 + (tan a1)(tan a2 )

como tan α2 = m2 ,
tan α1 = m1

Sustituyendo queda:

tan(θ) = m2 - m 1/
1+(m1)(m2)

Para aplicar esta relación se debe tener sumo cuidado al determinar cual es la pendiente m1 y cual m2. Para ello se deben seguir las indicaciones siguientes:

A. Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor.

B. Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva.

C. Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto.

Observa: m2 es la pendiente de la recta que forma el ángulo mayor con el sentido positivo del eje de las x.

CONCLUSIÓN:

1. Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma común.

2. Trazamos las gráficas.

3. Determinamos cual es m1 y cual m2. Sustituimos en la fórmula.

4 . Obtenemos el valor del ángulo de la función tangente en las tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas.

7.-Familias de rectas

La ecuación de una recta, como ya lo estudiamos, queda determinada por dos condiciones independientes:
dos puntos, la pendiente y un punto, la pendiente y su intersección con el eje, y la intersección de la recta con los dos ejes coordenados.

En consecuencia aceptamos que una recta que satisface una sola condición, no es una recta única, ya que hay infinidad de rectas que cumplen la misma condición.
Todas las rectas que satisfacen una condición geométrica previamente establecida forman una familia o haz de rectas .

En la ecuación de la recta y = mx + b, las constantes m y b son los parámetros. Si asignamos un valor particular a uno de los parámetros, se obtiene la ecuación de una familia de rectas del otro parámetro que identificaremos como K (K debe ser un número real).

8.-Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta

Distancia de un punto a una recta.

Consideremos una recta l cualquiera y un punto P( Xl, YI) que no este en la recta. La distancia de la recta l a P se define como la distancia de P al punto de l que esté más cercano a él. Construyamos una recta k, paralela a l que pase por P y la recta j, perpendicular a l que pasa por el origen.

La recta j corta a l y a k en Q y R respectivamente. Observa en la figura que la distancia de P a l es la misma que la distancia de Q a R. Para encontrar esta distancia debemos encontrar las coordenadas de Q y de R y aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Para encontrar las coordenadas de Q y R, escribimos las ecuaciones de l, k y j:
l : Ax + By + C = 0
k : Ax + By + C' = 0
j : Bx -Ay = 0

En la ecuación de k aparece una constante C' que determinaremos posteriormente. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones de l y j, obtenemos las coordenadas de Q:

2 2 2 2 Q ( - AC / - BC/)
A2+B2 A2+B2

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones de k y j, obtenemos las coordenadas de R:

R= ( -AC'/ -BC'/ )
A2+B2 A2+B2

Calculamos ahora el cuadrado de la distancia de R a Q:

d2 = (AC - AC')2/ (BC - BC')2/
(A2 + B2) (A2 + B2 )

Simplificando la expresión anterior, obtenemos:

d = (C - C')/
A2 + B2

extrayendo raíz cuadrada, encontramos:

d = (C - C')/
± raiz A2 + B2

Para determinar C′ , usamos el hecho de que 1 1 P(x , y ) pertenece a K, así que 1 1 (x , y ) satisface la ecuación de k:

Ax1 + By1 + C′ = 0

de donde,

C′ = −Ax1 − By1 .

Sustituyendo el valor de C′ en la formula de la distancia, obtenemos;

d = Ax1 + By1 + C/ .
± raíz A2 + B2.

Como la distancia debe ser un número no negativo, el signo de la raíz se escoge para que d sea positiva.

9.-Rectas y puntos notables de un triángulo

Geométricamente el punto de concurrencia de las bisectrices de un triangulo es el ''incentro''; el de las mediatrices es el ''circuncentro''; el de las alturas es el ''ortocentro'' y el de las medianas es el ''gravicentro'' o ''baricentro''.

Medianas y Baricentro

Se llama mediana a la recta que une un vértice con la mitad del lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto G llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área. Además el Baricentro dista doble del vértice que del punto medio del lado.

Mediatrices y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro y equidista, es decir, está la misma distancia de los tres vértices A, B y C, es por eso que pertenece a las tres mediatrices. La circunferencia que pasa por los tres vértices se llama Circunferencia Circunscrita.

Alturas y Ortocentro

ALTURAS: se llama altura en un triángulo a la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro. Se puede ver que si trazamos por cada vértice una paralela al lado opuesto se obtiene otro triángulo cuyas mediatrices son justamente las alturas del triángulo primitivo.

Bisectrices e Incentro

Se llama bisectriz a la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El punto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo. Dicha circunferencia se llama Circunferencia Inscrita y es la circuferencia más "grande" que se puede definir completamente contenida dentro del triángulo.

Recta de Euler

El baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos tres puntos se llama Recta de Euler.

10.-Distintas formas de la ecuación de la recta

1.Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación

con el eje x

Tómese sobre la recta los puntos P₁(x₁, y₁),P₂ (x₂, y₂) y P₃(x_3,y₃). Al proyectar los puntos P_1,P₂ y P₃sobre el eje x, se obtienen los puntos P’₁, P’₂, P’₃.
Como los triángulos OP₁P’₁, OP₂P’₂ y OP₃P’₃ son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,

ó y = mx (1)

La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

2. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan

) y b

Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
P’’(x, Y), Y

y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces

, de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y)

l, y = mx + b = (tan

)x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

3. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: y = mx + b (1)
Como P₁(x₁, y₁)

l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
y₁ = mx₁ + b (2)

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:

y – y₁ = m(x – x₁) (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:
y = mx + (y₁ – mx₁).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y₁ – mx₁

..
4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.

Como l pasa por el punto P₁(x₁, y₁) y tiene pendiente m₁, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que y – y₁ = m₁ (x – x1) (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P₂(x₂, y₂)

l, entonces satisface su ecuación.

Esto es y₂ – y₁ =

; de donde

(2)Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
Observaciones

i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación
(3) también puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P₁(x₁y₁) entonces la
ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

= 0

....

5. Ecuación segmentaría de la linea recta

Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de lviene dada por:

Es decir,

de donde,

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

..
6. Ecuación general de la linea recta
La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: laecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C

R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.

Demostración
i. Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde

(2)

La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es

ii.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde

(3)

La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es

iii.

En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:

(4)

La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es

y cuyo intercepto con el eje yviene dado por

obeservaciones

    i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal
         manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos
         de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:

(1A)
(1B)
(1C)

En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos
constantes independientes, por ejemplo

en (1A)

Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.

     iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general
          Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m
         viene dado por

y su coeficiente angular n, con respecto al eje y
viene dado por

.
Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

BIBLIOGRAFIA:

Geometría Analítica (Matemáticas |||) DGETI Autor: Benjamín Garza Olvera

Geometria Analitica

domingo, 7 de octubre de 2012

LA LINEA RECTA